Second-Order Logic

定义 Definition

二阶逻辑：一种比一阶逻辑更强的形式逻辑系统。在一阶逻辑中，量词（如 ∀, ∃）只能对“个体”取值；而在二阶逻辑中，量词还可以对性质/谓词、集合、关系、函数等“更高层级的对象”取值，因此表达能力更强（例如可更自然地刻画“自然数的完全性/归纳原理”）。在不同语境下也可指“全语义（full semantics）”或“亨金语义（Henkin semantics）”下的二阶逻辑体系。

发音 Pronunciation

/ˌsɛkənd ˈɔːrdər ˈlɑːdʒɪk/

例句 Examples

Second-order logic can quantify over properties and relations.
二阶逻辑可以对性质和关系进行量化。

Under full semantics, second-order logic can characterize the natural numbers up to isomorphism, but it sacrifices some meta-theoretic properties such as completeness.
在全语义下，二阶逻辑可以在同构意义上刻画自然数结构，但会牺牲一些元理论性质，例如完备性。

词源 Etymology

second-order 字面意思是“第二层级/二阶的”，在逻辑学里常用来区分“量化对象的层级”：一阶（first-order）只量化个体变量；二阶（second-order）进一步允许量化谓词或集合等。logic 源自希腊语 logos（言说、理性、论证），经拉丁语与法语进入英语，形成现代“逻辑/逻辑学”的含义。

相关词 Related Words

• First-Order Logic
• Higher-Order Logic
• Predicate
• Quantifier
• Semantics
• Completeness
• Compactness
• Henkin Semantics
• Model Theory
• Set Theory

文学与名著用例 Literary Works

• Alonzo Church, Introduction to Mathematical Logic（讨论高阶/二阶逻辑的形式化与表达力）
• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic（涉及二阶逻辑与其语义、与一阶逻辑对比）
• Joseph R. Shoenfield, Mathematical Logic（在逻辑体系比较与元理论讨论中出现）
• Leon Henkin, “Completeness in the Theory of Types” 等论文（与二阶/类型论语义密切相关，常被用来讲解亨金语义）
• Handbook of Mathematical Logic（多处用于讨论二阶逻辑、模型论与基础问题）